Question

【题目】如图，，分别为椭圆的焦点，直线：与轴交于点，若，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过，作互相垂直的两直线分别与椭圆交于，，，四点，求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意可知，又，所以是的中点，即可求出椭圆方程；

（2）当直线与之一与轴垂直时，易知四边形面积；当直线，均与轴不垂直时，设：，联立，得，利用韦达定理和弦长公式可得，，进而求得四边形面积关于 的解析式，再根据函数的单调性即可求出结果.

解：（1）由得，点坐标为；

，是的中点，，

椭圆方程为

（2）当直线与之一与轴垂直时，

四边形面积；

当直线，均与轴不垂直时，不妨设：，

联立代入消去得

设，，则，

.同理

四边形面积

令，则，，易知是以为变量的增函数

所以当，时，，

综上可知，.四边形面积的取值范围为.