Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an2+2an＝4Sn﹣1（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*；（2）[，）.

【解析】

（1）题先利用公式进行转化计算可发现数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{an}的通项公式；

（2）题先根据第（1）题的结果计算出Sn的表达式，以及数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn，最后运用放缩法即可计算得到Tn的取值范围．

（1）由题意，当n＝1时，a12+2a1＝4S1﹣1＝4a1﹣1，

整理，得a12﹣2a1+1＝0，

解得a1＝1．

当n≥2时，由an2+2an＝4Sn﹣1，

可得，

两式相减，

可得，

即an2﹣an﹣12＝2an+2an﹣1，

∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），

∵an+an﹣1＞0，

∴an﹣an﹣1＝2，

∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．

（2）由（1）知，Sn＝n2＝n2，

则bn

[]，

∴Tn＝b1+b2+…+bn

（1）（）[]

[1]

[1]，

又∵an＞0，n∈N*，∴bn＞0，

∴Tn≥T1＝b1（1），

∴Tn．

∴Tn的取值范围为[，）．