Question

7．已知函数f（x）=$\frac{bx+a}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明：f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）在（-1，1）上为奇函数，从而有f（0）=0，再由$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$便可求出a=0，b=1，从而得出$f（x）=\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式x₂-x₁，从而可以证明f（x₂）＞f（x₁），这便可得出f（x）在（-1，1）上为增函数．

解答 解：（1）依题意得，f（0）=0且$f（\frac{1}{3}）=\frac{3}{10}$，即$\frac{a}{1+0}=0$且$\frac{{\frac{b}{3}+a}}{{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{10}$；
解得a=0，b=1；
∴$f（x）=\frac{x}{{1+{x^2}}}$；
（2）证明：设x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，则：
$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\frac{x_2}{{1+{x_2}^2}}-\frac{x_1}{{1+{x_1}^2}}=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，$（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）$＞0；
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）；
∴f（x）是（-1，1）上的增函数．

点评 考查奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₂-x₁．