Question

在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两相互垂直，且OA＞OB＞OC，分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃中的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，即三角形OAD面积为S₁，由此推导出S₁²=（OA²OB²+OA²OC²）．同理可得S₂²=（OA²OB²+OB²OC²），S₃²=（OA²OC²+OB²OC²），由此能求出S₁，S₂，S₃中的最小值．
解答：解：取BC中点D，连接OD，AD，则平面OAD平分三棱锥的体积，
即三角形OAD面积为S₁，
在Rt△BOC中，OD是斜边BC上的中线，∴OD=BC，
∵OA⊥OB，OA⊥OC，∴OA⊥平面BOC，
∵OD?平面BOC，
∴OA⊥OD，
∴S₁=OA×OD，
即S₁²=OA²OD²=OA²BC²=OA²（OB²+OC²）=（OA²OB²+OA²OC²）．
同理可得S₂²=（OA²OB²+OB²OC²），
S₃²=（OA²OC²+OB²OC²），
因为OA＞OB＞OC
所以S₁²＞S₂²＞S₃²
所以S₁，S₂，S₃中的最小值是S₃．
故答案为：S₃．
点评：本题考查棱锥中截面面积的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理的灵活运用．