Question

9．已知函数f（x）=x•lnx，g（x）=2mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若$?x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，f（x）＞g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为$2m＜{（{lnx+\frac{1}{x}}）_{min}}$，构造函数$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$，$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f′（x）=1•lnx+x•\frac{1}{x}=lnx+1$，…（2分）
所以f′（1）=1，又f（1）=0，
所以函数f（x）在x=1处的切线方程是：
y-0=1×（x-1），即y=x-1．   …（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得，$lnx+\frac{1}{x}＞2m$，
于是$2m＜{（{lnx+\frac{1}{x}}）_{min}}$． …（7分）
构造函数$h（x）=lnx+\frac{1}{x}$，$x∈[{\frac{1}{e}，e}]$
令$h′（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}＞0$，得x＞1，
所以函数h（x）在$（{\frac{1}{e}，1}）$上单调递减，（1，e）上单调递增，
h（x）_min=h（1）=1，…（10分）
于是，2m＜1，
所以，实数m的取值范围是$（-∞，\frac{1}{2}）$． …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．