Question

20．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin?x+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，则（　　）

• A． g（x）是奇函数
• B． g（x）关于直线x=-$\frac{π}{4}$对称
• C． g（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是增函数
• D． 当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，g（x）的值域是[2，1]

Answer 1

分析 将函数化简，图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，可知周期为π，由周期求出ω，向左平移$\frac{π}{6}$个单位可得g（x）的解析式，再利用三角函数图象及性质，可得结论．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin?x+cosωx（ω＞0），
化简得：f（x）=2sin（?x+$\frac{π}{6}$），
∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为$\frac{π}{2}$的等差数列，可知周期为π
∴T=π=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=2．
那么：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得：2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2cos2x．
∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间[0，$\frac{π}{2}$]单调减函数．所以A，C不对．
对称轴方程为x=$\frac{1}{2}kπ$（k=Z），检验B不对．
当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，那么2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，g（x）的最大值为1，最小值为-2，故值域为[-2，1]．D正确．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的辅助角公式的化简和图象的平移，三角函数的性质的运用能力．属于中档题．