Question

11．已知抛物线C：y²=4x，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该抛物线相交于A、B两点，记线段AB中点为P（x₀，y₀）．
（Ⅰ）若x₀=2，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设线段AB的垂直平分线与x轴，y轴分别相交于点D、E．当直线AB的斜率大于$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线方程为y=k（x-1），代入y²=4x，利用韦达定理，结合x₀=2，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）求出线段AB的垂直平分线方程，表示$\frac{|AB|}{|DE|}$，即可求$\frac{|AB|}{|DE|}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设直线方程为y=k（x-1），代入y²=4x，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，∴x₀=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$=2，
∴k=$±\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x₀=$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2}{k}$，
线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{2}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$）．
令y=0，可得x=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，令x=0，y=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$，
∴|DE|=$\frac{3{k}^{2}+2}{{k}^{3}}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{4（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$，
∴$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}}{3{k}^{2}+2}$，
设t=3k²+2（t＞3），则
$\frac{|AB|}{|DE|}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{9}{8}-2（\frac{1}{t}+\frac{1}{4}）^{2}}$∈（$\frac{8}{9}$，$\frac{4}{3}$）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的性质，考查韦达定理的运用，属于中档题．