Question

1．已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，若n∈N^*时，a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设${C_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求{C_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，可得a₁=3，结合{a_n}是公差为2的等差数列，可得{a_n}的通项公式，将其代入已知条件a_nb_n+1-b_n+1=nb_n来求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项相消法求和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．
当n=1时，a₁b₂-b₂=b₁．
∵${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，
∴a₁=3，
又∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n=2n+1，
则（2n+1）b_n+1-b_n+1=nb_n．
化简，得
2b_n+1=b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
所以数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
所以b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=2n+1，
所以${C_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
所以S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，裂项相消法求和公式，难度中档．