Question

2．函数f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$，x∈（2，8]的值域为（　　）

• A． [0，2]
• B． [-$\frac{1}{4}$，2]
• C． （0，2]
• D． （-$\frac{1}{4}$，2]

Answer 1

分析 将函数f（x）化简为f（x）=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•lo{g}_{2}（\frac{x}{2}×\frac{1}{2}）$利用换元法转为二次函数求解即可．

解答 解：函数f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•lo{g}_{2}（\frac{x}{2}×\frac{1}{2}）$=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•（lo{g}_{2}\frac{x}{2}-1）$
令t=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}$，
∵x∈（2，8]，
∴t∈（0，2]．
函数f（x）转化为g（t）=t（t-1）=t²-t，
开口向上，对称轴t=$\frac{1}{2}$，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数g（t）取得最小值为$-\frac{1}{4}$，
当t=2时，函数g（t）取得最大值为2．
∴函数g（t）的值域为[$-\frac{1}{4}$，2]，即函数f（x）的值域为[$-\frac{1}{4}$，2]，
故选B．

点评 本题考查了对数的化简计算以及性质和值域的求法，利用了换元法．