Question

20．已知O为坐标原点，方程x²+y²+x-6y+c=0
（1）若此方程表示圆，求c的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线l：x+2y-3=0交于P、Q两点．若以PQ为直径的圆过原点O求c值．

Answer 1

分析 （1）根据二元二次方程表示圆，D²+E²-4F＞0，代入数据求出c的取值范围；
（2）法一：设出PQ中点（m，n），写出以PQ为直径的圆，利用公共弦方程求出m、n的值，代入直线l求出c的值．
法二：设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）利用直径对直角得出OP⊥OQ，由k_OPk_OQ=-1以及直线与圆的方程组成方程组，利用根与系数的关系即可求出c的值．

解答 解：（1）若方程x²+y²+x-6y+c=0表示圆，
则D²+E²-4F=1+36-4c＞0，
解得c＜$\frac{37}{4}$；…（3分）
（2）法一：PQ为直径的圆过原点O，设PQ中点为（m，n），
则以PQ为直径的圆为（x-m）²+（y-n）²=m²+n²…（6分）
∵PQ为圆C：x²+y²+x-6y+c=0与（x-m）²+（y-n）²=m²+n²的公共弦，
∴PQ方程为（1+2m）x+（-6+2n）y+c=0，…（8分）
它与直线l：x+2y-3=0为同一条直线，
∴$\frac{1+2m}{1}=\frac{-6+2n}{2}=\frac{c}{3}$，
解得$m=\frac{c-3}{6}，n=-\frac{c+9}{3}$；…（10分）
∵（m，n）在直线l：x+2y-3=0上，
∴将$m=\frac{c-3}{6}，n=-\frac{c+9}{3}$代入，
解得c=3即为所求． …（12分）
法二：设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ为直径的圆过原点O，
∴OP⊥OQ，
∴k_OPk_OQ=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0①；…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+x-6y+c=0\\ x+2y-3=0\end{array}\right.$，
消去x得5y²-20y+12+c=0，
∴y₁+y₂=4，${y_1}{y_2}=\frac{12+c}{5}$②；…（8分）
又x₁x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁y₂③；…（10分）
将②③代入①，
解得c=3即为所求．…（12分）

点评 本题考查了二元二次方程表示圆以及直线与圆的应用问题，也考查了方程组以及根与系数的关系应用问题，是综合性题目．