Question

15．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为（1，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 讨论当A，B均在右支上，可得c＞$\frac{2{b}^{2}}{a}$，当A，B在左右两支上，可得c＞2a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：当A，B均在右支上，可得c＞$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
即有2b²＜ac，即2c²-ac-2a²＜0，
即为2e²-e-2＜0，
解得1＜e＜$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$；
当A，B在左右两支上，可得c＞2a，
即有e＞2．
故答案为：（1，$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$）∪（2，+∞）

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件，属于中档题