Question

5．已知各项都不相等的等差数列{a_n}，a₆=6，又a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2ⁿ+2n，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵各项都不相等的等差数列{a_n}，a₆=6，又a₁，a₂，a₄成等比数列．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{6}={a}_{1}+5d=6}\\{（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+3d）}\\{d≠0}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）∵b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+2n=2ⁿ+2n，
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2+n²+n．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．