Question

13．若函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且对任意实数x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x-1]=2，则f（8）=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）-log₂x-1为定值，可以设t=f（x）-log₂x-1，则f（x）=log₂x+t+1，又由f（t）=2，即log₂t+t+1=2，解可得t的值，可得f（x）的解析式，求出f（8）即可．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x-1]=2，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x-1为定值，
设t=f（x）-log₂x-1，则f（x）=log₂x+t+1，
又由f（t）=2，即log₂t+t+1=2，
解可得，t=1；
则f（x）=log₂x+2，
故f（8）=5，
故选：D．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查指数函数的性质，求出f（x）的解析式是解题的关键，是一道中档题．