Question

4．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在线段A₁B₁上运动．
（Ⅰ）求证：PN⊥AM；
（Ⅱ）试确定点P的位置，使直线PN和平面ABC所成的角最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 取AC的中点Q，连结A₁Q，易知AM⊥A₁Q，可得AM⊥PN．
（Ⅱ） 作PD⊥AB于D，连结DN，则∠PND为直线PN和平面ABC所成的角．易知当ND最短，即ND⊥AB时，∠PND最大，此时D为AB的中点，P为A₁B₁的中点．

解答 解：（Ⅰ） 取AC的中点Q，连结A₁Q，易知AM⊥A₁Q，
又PN在平面A₁C内的射影为A₁Q，所以AM⊥PN．…（6分）
（Ⅱ） 作PD⊥AB于D，连结DN，则∠PND为直
线PN和平面ABC所成的角．易知当ND最短，即ND⊥AB
时，$tan∠PND=\frac{PD}{ND}$最大，从而∠PND最大，此时D为AB的中点，P为A₁B₁的中点．…（12分）

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，考查了线面角的求解，属于中档题．