Question

在△ABC中，E为AC上一点，且

AC

=4

AE

，P为BE上一点，且满足

AP

=m

AB

+n

AC

（m＞0，n＞0），则

1

m

+

1

n

取最小值时，向量

a

=(m，n)的模为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：根据平面向量基本定理求出m，n关系，进而确定

1

m

+

1

n

取最小值时m，n的值，代入求

a

的模

解答： 解：∵

AC

=4

AE

，
∴

AP

=m

AB

+n

AC

=m

AB

+4n

AE

又∵P为BE上一点，
∴不妨设

BP

=λ

BE

（0＜λ＜1）
∴

AP

=

AB

+

BP

=

AB

+λ

BE

=

AB

+λ（

AE

-

AB

）
=（1-λ）

AB

+λ

AE

∴m

AB

+4n

AE

=（1-λ）

AB

+λ

AE

∵

AB

，

AE

不共线
∴m+4n=1-λ+λ=1
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）×1=（

1

m

+

1

n

）×（m+4n）=5+4

n

m

+

m

n

≥5+2

4n m × m n

=9（m＞0，n＞0）
当且仅当

4n

m

=

m

n

即m=2n时等号成立
又∵m+4n=1
∴m=

1

3

，n=

1

6

∴|

a

|=

m2+n2

=

5

6

故答案为

5

6

点评：本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m，n的关系和求

1

m

+

1

n

的最值