Question

【题目】已知函数f（x）= ，则关于函数F（x）=f（f（x））的零点个数，正确的结论是 ． （写出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F（x）恰有一个零点．②k＜0时，F（x）恰有2个零点．
③k＞0时，F（x）恰有3个零点．④k＞0时，F（x）恰有4个零点．

Answer 1

【答案】②④
【解析】解：
①当k=0时，f（x）= ，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）= =0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）= ，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时， ，此时
f（f（x））=f（ ）= ，令f（f（x））=0，可得：x= ，满足；
（Ⅲ）当x＞1时， ，此时f（f（x））=f（ ）=k +1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤ 时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得： ，满足；
（Ⅱ）当 时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）= ，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时， ，此时f（f（x））=f（ ）= ，令f（f（x））=0，可得：x= ，满足；
（Ⅳ）当x＞1时， ，此时f（f（x））=f（ ）=k +1，令f（f（x））=0得：x= ＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
所以答案是：②④．