Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ） 若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率是1，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

解：（Ⅰ） ，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
（Ⅱ） 得a=-2，f（x）=-2lnx+2x-3
∴，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x-2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=-2
∴，
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴．
∴当m∈（-，-9）内取值时对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值．
分析：（1）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），
（2）点（2，f（2））处的切线的斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．
点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，以及已知函数曲线上一点求曲线的切线方程，考查求导公式的掌握情况，含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题，属于难题．