Question

如图，，，…，，…是曲线上的点，，，…，，…是轴正半轴上的点，且，，…，，… 均为斜边在轴上的等腰直角三角形（为坐标原点）．
（1）写出、和之间的等量关系，以及、和之间的等量关系；
（2）求证：（）；
（3）设，对所有，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）， （2）， （3）

第一问利用有，得到
第二问证明：①当时，可求得，命题成立；②假设当时，命题成立，即有则当时，由归纳假设及，
得
第三问 

．………………………2分
因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即

解：（1）依题意，有，，………………4分
（2）证明：①当时，可求得，命题成立； ……………2分
②假设当时，命题成立，即有，……………………1分
则当时，由归纳假设及，
得．
即
解得（不合题意，舍去）
即当时，命题成立． …………………………………………4分
综上所述，对所有，．   ……………………………1分
（3） 
．………………………2分
因为函数在区间上单调递增，所以当时，最大为，即
．……………2分
由题意，有． 所以，