Question

【题目】已知为奇函数，为偶函数，且．

（Ⅰ）求函数及的解析式；

（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：函数在上是减函数；

（Ⅲ）若关于的方程有解，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题（1）根据，的奇偶性便有，联立便可解出及的解析式；（2）根据减函数的定义，设任意的，且，然后作差，可以得出，根据对数函数的单调性便可得出，从而得出g（x）在（0，1）上单调递减；（3）求出，根据便可得出的范围，从而得出的范围，根据对数函数的单调性便可得出的范围，从而便可得出m的取值范围

试题解析：（Ⅰ）∵为奇函数，为偶函数,

∴．

又 ①

故，即 ②

由①②得：

．

（Ⅱ）设任意的，且,

则，

因为，所以

所以，即，所以0

所以，即函数在上是减函数

（Ⅲ）因为,所以，

设，则

因为的定义域为，所以的定义域为

即，所以， 则

因为关于的方程有解，则

故的取值范围为 ．