Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，顶点A（a，0），B（0，b），中心O到直线AB的距离为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上一动点P满足： ，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为﹣ ，若Q（λ，μ）为一动点，E1（﹣ ，0），E2（ ，0）为两定点，求|QE1|+|QE2|的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为直线AB的方程为ax+by﹣ab=0．所以 = ，

由已知得 = ，故可解得a=2，b= ；

所以椭圆的方程为

（2）解：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

则由 得，x=λx1+2μx2，y=λy1+2μy2

因为点P，M，N在椭圆 上，

所以x12+2y12=4，x22+2y22=4，x2+2y2=4

故x2+2y2=λ2（x12+2y12）+4μ2（x22+2y22）+4λμ（x1x2+2y1y2）=4λ2+16μ2+4λμ（x1x2+2y1y2）=4

设kQM，kQN分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，kQMkQN= =﹣ ，

因此x1x2+2y1y2=0，所以λ2+4μ2=1，

λ2+ =1，可知表达式是椭圆，a=1，b= ，c= ，

而E1，E2恰为椭圆的左右焦点，

所以由椭圆的定义，|QF1|+|QF2|=2

【解析】（1）利用离心率为 ，中心O到直线AB的距离为 ．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．（2）设P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用 得，结合点P，M，N在椭圆上，通过kQMkQN= =﹣ ，得到λ2+4μ2=1，由椭圆的定义，推出|QF1|+|QF2|=2即可．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．