Question

已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（ I）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；
（ II）若函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）证明：

n

k=1

sin

1

(k+1)2

＜ln2．．

Answer 1

分析：（I）根据已知条件函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，可得F′（1）=0，得出等式，求出a值；
（II）因为函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；
（Ⅲ）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对

n

k=1

sin

1

(k+1)2

从第三项开始进行放缩，然后进行证明；

解答：解：（ I）∵函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
∴F（x）=ax-lnx，则 F′（x）=a-

1

x

，
∵函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，
∴F′（1）=0，
∴a-1=0，解得a=1；
（ II）∵函数G（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+

1

x

，
只要G′（x）＞0在区间（0，1）上大于0，
∴G′（x）=acos（1-x）×（-1）+

1

x

＞0，
∴a＜

1

xcos(1-x)

，求

1

xcos(1-x)

的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最小值即可，0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
h（x）＜h（1）=1，
∴

1

xcos(1-x)

的最小值为1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵0＜

1

(k+1)2

＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴

n

k=1

sin

1

(k+1)2

=sin

1

22

+sin

1

23

+…+sin

1

(n+1)2

≤

1

22

+

1

23

+…+

1

(n+1)2

＜

1

4

+

1

9

+

1

16

+

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

n(n+1)

=

97

144

-

1

n+1

＜

97

144

＜ln2，
∴

n

k=1

sin

1

(k+1)2

＜ln2；

点评：第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx＜x进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；