Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，都有a_n=$\frac{3}{4}{S_n}$+2．
（1）设b_n=log₂a_n，求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）在（1）的条件下，设c_n=（-1）ⁿ⁺¹$\frac{n+1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：$\frac{1}{21}$≤T_n≤$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 （1）通过对${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$变形可知${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$，并令n=1可知a₁=8，当n≥2时，利用${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$与${S_{n+1}}=\frac{4}{3}（{a_{n+1}}-2）$作差、整理可知a_n+1=4a_n，进而计算可得结论；
（2）通过（1）裂项可知数列{c_n}的通项公式，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论可求出T_n，通过分别判断出各自的单调性，整理即得结论．

解答 证明：（1）由${a_n}=\frac{3}{4}{S_n}+2$，得${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$，
当n=1时，${a_1}=\frac{4}{3}（{a_1}-2）$，解得a₁=8．
由${S_n}=\frac{4}{3}（{a_n}-2）$，①
得${S_{n+1}}=\frac{4}{3}（{a_{n+1}}-2）$，②
②-①得，${a_{n+1}}=\frac{4}{3}{a_{n+1}}-\frac{4}{3}{a_n}$，即a_n+1=4a_n，
所以{a_n}为首项为8、公比为4的等比数列，
所以${a_n}=8×{4^{n-1}}={2^{2n+1}}$，
所以${b_n}={log_2}{2^{2n+1}}=2n+1$，b_n+1-b_n=2，
所以数列{b_n}为等差数列；
（2）由（1）可知${c_n}={（-1）^{n+1}}\frac{n+1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}={（-1）^{n+1}}×\frac{1}{4}×\frac{4（n+1）}{（2n+1）（2n+3）}={（-1）^{n+1}}×\frac{1}{4}（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$，
当n为偶数时，${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}+\frac{1}{9}）-（\frac{1}{9}+\frac{1}{11}）+$…$-（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$；
当n为奇数时，${T_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）-（\frac{1}{5}+\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}+\frac{1}{9}）-（\frac{1}{9}+\frac{1}{11}）+$…$+（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）]$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}）$；
又∵当n为偶数时，${T_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$，函数$f（n）=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$单调递增，${T_2}≤{T_n}＜\frac{1}{12}$，即$\frac{1}{21}≤{T_n}＜\frac{1}{12}$；
当n为奇数时，${T_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}）$，函数$g（n）=\frac{1}{4}（\frac{1}{3}+\frac{1}{2n+3}）$单调递减，$\frac{1}{12}＜{T_n}≤{T_1}=\frac{2}{15}$．
∴$\frac{1}{21}≤{T_n}≤\frac{2}{15}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，考查并项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．