Question

10．已知△AOB内接于抛物线y²=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2$\sqrt{5}$），B（5，-2$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）（y₁＞0），则B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，-y₁）．求出AF，OB的斜率，令k_OB•k_AF=-1解出y₁即可得出A，B的坐标．

解答 解：抛物线焦点F（1，0），
∵焦点F是△AOB的垂心，
∴直线AB⊥x轴．
∴A，B关于x轴对称．
设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）（y₁＞0），则B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，-y₁）．
∴k_OB=$\frac{-{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．k_AF=$\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$．
∵焦点F是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB．
∴k_OB•k_AF=-1，即-$\frac{4}{{y}_{1}}$•$\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$=-1，解得y₁=2$\sqrt{5}$．
∴A（5，2$\sqrt{5}$），B（5，-2$\sqrt{5}$）．
故答案为：A（5，2$\sqrt{5}$），B（5，-2$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了抛物线的性质，三角形垂心的性质，属于中档题．