Question

20．已知抛物线的方程是y²=4x，过定点P（-2，-1）作直线l与抛物线y²=4x有且只有一个公共点，那么直线l的斜率的取值集合是$\left\{{-\frac{1}{2}，0，1}\right\}$．

Answer 1

分析 设直线方程为：y=k（x+2）-1，代入抛物线方程得k²x²+（4k²-2k-4）x+4k²-4k+1=0（*），直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，由此能求出结果．

解答 解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）-1，
代入抛物线方程整理可得k²x²+（4k²-2k-4）x+4k²-4k+1=0（*），
直线与抛物线只有一个公共点等价于（*）只有一个根，
①k=0时，y=1符合题意；
②k≠0时，△=（4k²-2k-4）²-4k²（4k²-4k+1）=0，整理，得2k²-k-1=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$或k=1．
综上可得，k=-$\frac{1}{2}$或k=1或k=0时，直线l与抛物线只有一个公共点．
故答案为：$\left\{{-\frac{1}{2}，0，1}\right\}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决本题的关键是熟练掌握只有一个公共点的概念，即直线与抛物线相切或者直线与抛物线的对称轴平行，易错点在于忽视与对称轴平行的情况，属于中档题．