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已知函数f(x)对任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x<0时,f(x)>0.
(1)求证:函f(x)是奇函数;
(2)求证:函数f(x)是R上的减函数;
(3)若定义在(-2,2)上的函数f(x)满足f(-m)+f(1-m)<0,求实数m的取值范围.
【答案】分析:(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可令x=y=0 有f (0 )=0,令y=-x 代入即证;
(2)设x2>x1则x1-x2<0,由已知当x<0时,f(x)>0可得f(x1-x2)>0,则f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)>f(x2)可证;
(3)移项,利用奇偶性进行化简,然后利用单调性建立不等式,注意定义域,从而可求出m的取值范围.
解答:(1)证明:∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
令y=-x 有:0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)
∴函数f(x)是奇函数;…(5分)
(2)证明:设x2>x1则x1-x2<0
∵当x<0时,f(x)>0
∴f(x1-x2)>0
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)>f(x2
∴函数f(x)是R上的减函数
(3)解:∵f(-m)+f(1-m)<0,∴f(-m)<f(m-1),
且f(-m)+f(1-m)=f(1-2m)
,解得:-<m<.…(16分)
点评:本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数函数值,及利用赋值判断函数的奇偶性,利用函数单调性求解函数的最值,利用构造条件判断抽象函数的单调性的技巧要求体会掌握,是函数知识的综合应用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b.
(1)求过函数图象上的任一点P(t,f(t))的切线方程;
(2)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b对任意x∈[0,+∞)成立,求实数k、b应满足的条件.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab

(3)已知函数f(x)的定义域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

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若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)已知函数f(x)的定义域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).

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已知函数f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点(0,
1
2
)对称;
(Ⅱ)设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数,令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在实数b
,使得任给a∈[
1
4
1
3
],对任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范围;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•海淀区一模)已知函数f(x)=
1,x∈Q
0,x∈CRQ
,则f(f(x))=
1
1

下面三个命题中,所有真命题的序号是
①②③
①②③

①函数f(x)是偶函数;
②任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立;
③存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.

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