Question

如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．
（1）求证：

CE

BD

=

DE

AD

（2）若BD=3

2

，EC=2，CA=6，求BF的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连接CD，证明△ABD∽△DCE，即可证明：

CE

BD

=

DE

AD

（2）若BD=3

2

，EC=2，CA=6，求出DE，证明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．

解答： （1）证明：连接CD，则
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，

BD

=

CD

，
∵DE是圆O的切线，
∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．
∵∠DCE是四边形ABCD的外角，
∴∠DCE=∠ABD，
∴△ABD∽△DCE，
∴

CE

BD

=

DE

AD

．
（2）解：∵

BD

=

CD

，BD=3

2

，
∴BD=CD=3

2

，∠CBD=∠BCD，
∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，
∴∠CDE=∠CBD，DE²=EC•EA=16，
∴DE=4，
∴∠CDE=∠BCD，
∴DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=∠ADB，
∴△DCE∽△BFD，
∴

BF

DC

=

BD

DE

，
∴BF=

BD•DC

DE

=

9

2

．

点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．