Question

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）因为x=1时函数取得极值得f（1）=-3-c求出b，然后令导函数f′（x）=0求出a即可；
（2）解出导函数为0时x的值，然后讨论x的取值范围时导函数的正负决定f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值-3-c，
∴f（1）=-3-c，
∴b-c=-3-c，
∴b=-3，
∵f′（x）=4ax³lnx+ax4×

1

x

+4bx³=x³（4alnx+a+4b），
∵f（x）=ax⁴lnx+bx⁴-c（x＞0）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，
∴a+4b=0，解得a=12，
故a=12，b=-3；
（2）由（1）知，f（x）=12x⁴lnx-3x⁴-c，
∴f'（x）=48x³lnx（x＞0），
令f'（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，1）上为减函数，
当x＞1时，f'（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．属于中档题．