Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

+c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a、b、c的值；
（2）试讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）试求函数f（x）在（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义，得c=0．再根据f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，建立关于a、b的方程组，解之即得a、b的值．
（2）对函数求导数，得f′（x）=

(2x+1)(2x-1)

2x 2

，再讨论导数的正负，即可得到f（x）在（0，

1

2

）上为减函数，在（

1

2

，+∞）上为增函数．
（3）根据（2）的单调性，不难得到f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（

1

2

）=2．

解答：解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即-ax-

b

x

+c+ax+

b

x

+c=0，得c=0．
∵f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
∴a+b=

5

2

且2a+

b

2

=

17

4

，解得a=2，b=

1

2

．
∴a=2，b=

1

2

，c=0．
（2）由（1）知，f（x）=2x+

1

2x

，
∴f′（x）=2-

1

2x2

=

(2x+1)(2x-1)

2x 2

．
∵当x∈（0，

1

2

）时，f′（x）＜0，当x＞

1

2

时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，

1

2

）上为减函数，在（

1

2

，+∞）上为增函数．
（3）∵函数f（x）在（0，

1

2

）上为减函数，在（

1

2

，+∞）上为增函数
∴x=

1

2

是函数的极小值点，且f（

1

2

）是函数的极小值也是最小值
由此可得，函数f（x）在（0，+∞）上的最小值为f（

1

2

）=2．

点评：本题给出含有参数的分式函数，在已知函数为奇函数的情况下求函数的解析式，并讨论函数的单调性，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性和利用导数研究函数性质等知识，属于基础题．