已知过点
的直线
与抛物线
交于
两点，
为坐标原点．
（1）若以
为直径的圆经过原点，求直线的方程；
（2）若线段的中垂线交
轴于点
，求
面积的取值范围．
解：（1）
（2）
。
解析试题分析：
思路分析：（1）通过分析已知条件，确定直线的斜率存在，故可设直线方程为
，通过联立方程组 
，消去
，应用韦达定理及
，建立k的方程，求解。
（2）通过设线段的中点坐标为
确定线段的中垂线方程为
，
将
用k表示，
，
利用二次函数的图象和性质，得到
，进一步确定三角形面积的最值。
解：（1）依题意可得直线的斜率存在，设为
，
则直线方程为 1分
联立方程 ，消去，并整理得
2分
则由
，得
设
，则
4分
5分
以为直径的圆经过原点
，解得
6分直线的方程为
，即 7分
（2）设线段的中点坐标为
由（1）得
8分线段的中垂线方程为 9分
令
，得
11分
又由（1）知
，且
或
，
13分
面积的取值范围为 14分
考点：直线方程，直线与抛物线的位置关系。
点评：中档题，确定抛物线的标准方程，一般利用“待定系数法”，涉及直线与抛物线的位置关系，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
极坐标系中椭圆C的方程为
以极点为原点，极轴为
轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度.
（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为
，求
的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆的两条弦
交于点
，且直线
与
的倾斜角互补，
求证:
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2为正三角形，且以线段F1F2为直径的圆与直线
相切.
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率e；
（Ⅱ）若点P为焦点F1关于直线
的对称点，动点M满足
. 问是否存在一个定点T，使得动点M到定点T的距离为定值？若存在，求出定点T的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
曲线C上任一点到定点(0，
)的距离等于它到定直线
的距离.
(1)求曲线C的方程；
(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线
分别交曲线C于A、B两点，且
⊥，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，点
是椭圆
（
）的左焦点，点
，
分别是椭圆的左顶点和上顶点，椭圆的离心率为
，点
在
轴上，且
，过点作斜率为
的直线
与由三点,，
确定的圆
相交于
，
两点，满足
．
（1）若
的面积为
，求椭圆的方程；
（2）直线
的斜率是否为定值？证明你的结论.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设椭圆
的左焦点为F, 离心率为
, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
, 求k的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，短轴长为
，离心率为
.
(I)求椭圆的方程;
(II) 
为椭圆上满足
的面积为
的任意两点，
为线段
的中点，射线
交椭圆与点
，设
，求实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知抛物线
（
且
为常数），
为其焦点．
（1）写出焦点的坐标；
（2）过点的直线与抛物线相交于
两点，且
，求直线
的斜率；
（3）若线段
是过抛物线焦点的两条动弦，且满足
，如图所示．求四边形
面积的最小值
．
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的焦点在
轴上，离心率
，且经过点
. 
的直线
与椭圆
两点，求证：直线
与
的倾斜角互补.