Question

已知椭圆的焦点在轴上，离心率，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆相交于两点，求证：直线与的倾斜角互补.

Answer 1

（1） 见证明.

解析试题分析：（Ⅰ）椭圆有两个独立量，所以需要建立两个方程①利用离心率 ②利用点 在圆上,然后解方程即可，（Ⅱ）建立直线方程后与椭圆方程联立利用韦达定理求出两根之和 两根之积, ,再把两条直线的斜率之和用, 来表示,整理即可.
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，（）
由，得                          2分
∵椭圆经过点，则，解得                      3分
∴椭圆的方程为                                     4分
（Ⅱ）设直线方程为.
由联立得：
令，得
                                      6分


10分
                              11分
，所以，直线与的倾斜角互补．                    12分
考点：椭圆及其性质,直线与圆锥曲线的关系运算.