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曲线C上任一点到定点(0,)的距离等于它到定直线的距离.
(1)求曲线C的方程;
(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线分别交曲线C于A、B两点,且,设M是AB中点,问是否存在一定点和一定直线,使得M到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在,求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在,说明理由.

(1)y=2x2
(2)M轨迹是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。所求的定点为,定直线方程为y=.

解析试题分析:
思路分析:(1)曲线C上任一点到定点(0,)的距离等于它到定直线的距离.所以,由抛物线的定义,其方程为,而,所以,y=2x2
(2)利用“参数法” 得到y=4x2+4x+,根据图象的平移变换得到结论:定点为,定直线方程为y=.
解:(1)因为,利用抛物线的定义,确定得到y=2x2
(2)设:y-2=k(x-1)(k≠0) :y=2=
得2x2-kx+k-2=0
同理得B点坐标为

消去k得:y=4x2+4x+ ………9分
M轨迹是抛物线,故存在一定点和一定直线,使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为,此抛物线可看成是由抛物线左移个单位,上移个单位得到的,而抛物线的焦点为(0,),准线为y=-.∴所求的定点为,定直线方程为y=.
考点:抛物线方程,直线与抛物线的位置关系。
点评:难题,利用“直接法”可确定得到抛物线方程。利用“参数法”求得抛物线方程,通过研究焦点、准线等,达到确定“存在性”的目的。

练习册系列答案
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(I)
(II)

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Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
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