Question

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB+bcosA=$\sqrt{3}$，△ABC的外接圆面积为π，则△ABC面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用余弦定理可得c=$\sqrt{3}$，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$±\frac{1}{2}$，分类讨论，由余弦定理，基本不等式可得ab的最大值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵acosB+bcosA=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\sqrt{3}$，
∴整理解得：c=$\sqrt{3}$，
∵△ABC的外接圆面积为π，
∴设△ABC的外接圆的半径为R，则πR²=π，解得：R=1，
∴由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sinC}=2$，可得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosC=$±\frac{1}{2}$，
当cosC=$\frac{1}{2}$时，由余弦定理，基本不等式可得：3=a²+b²-ab≥ab，S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，（当且仅当a=b时等号成立）
当cosC=-$\frac{1}{2}$时，由余弦定理，基本不等式可得：3=a²+b²+ab≥3ab，S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，（当且仅当a=b时等号成立）
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．