Question

11．在平面直角坐标系XOY中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
（1）求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）设点M（0，2），l与C交于A、B两点，且AB的中点为N，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，即可求C的普通方程和l的倾斜角；
（2）利用参数的几何意义，即可求|MN|．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+3cosα}\\{y=1+3sinα}\end{array}\right.$（α为参数），普通方程（x-2）²+（y-1）²=9…（2分）
．直线l的极坐标方程为ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\sqrt{2}$，∴y=x+2
∴l的倾斜角α=$\frac{π}{4}$…（5分）
（2）l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入曲线C，整理可得${t}^{2}-\sqrt{2}t-4=0$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=$\sqrt{2}$，∴|MN|=$\frac{1}{2}$|t₁+t₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．