Question

给出下列命题：
①“x=2”是“x²=4”的充分不必要条件；
②设A={x||x|≤3}，B={y|y=-x²+t}，若A∩B=∅，则实数t的取值范围为[3，+∞）；
③若log₂x+log_x2≥2，则x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命题p：对任意的x∈R，函数y=cos（2x-

π

3

）的递减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），命题q：存在x∈R使tanx=1，则命题“p且q”是真命题．
其中真命题的序号为（　　）

• A、①②④
• B、③④⑤
• C、②③⑤
• D、①③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，利用充分必要条件的概念可判断知x=2⇒x²=4，反之，不行，可判断①；
②，依题意，可求得A={x|-3≤x≤3}，又B={y|y=-x²+t}，A∩B=∅，可求得实数t的取值范围为t＞12或t＜-3，可判断②；
③，利用对数函数的性质及基本不等式，可判断③；
④，举例x=0，y=0∈R，使sin（x-y）=sinx-siny，可判断④；
⑤，先利用余弦函数的单调性，求得函数y=cos（2x-

π

3

）的递减区间，可判断命题p为假命题，从而可判断命题“p且q”是假命题，可判断⑤．

解答： 解：对于①，x=2⇒x²=4，充分性成立，反之，不然，必要性不成立，故①正确；
对于②，由|x|≤3得：-3≤x≤3，即A={x|-3≤x≤3}；
又B={y|y=-x²+t}，A∩B=∅，
∴y=-x²+t＞3或y=-x²+t＜-3恒成立，即t＞3+x²，或t＜x²-3（-3≤x≤3）恒成立，
∴t＞12或t＜-3，故②错误；
则实数t的取值范围为[3，+∞）；
对于③，∵log₂x与log_x2互为倒数，
∴当log₂x+log_x2≥2时，必有log₂x＞0且log₂x=1，即x=2时取“=”，所以x＞1，故③正确；
对于④，存在x=0，y=0∈R，使sin（0-0）=sin0-sin0成立，故④正确；
对于⑤，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

（k∈Z），
∴函数y=cos（2x-

π

3

）的递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z），即命题p为假命题，于是命题“p且q”是假命题，故⑤错误．
综上所述，真命题的序号为①③④，
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查充分必要条件的概念、复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用与集合的运算，属于难题．