Question

如图所示，线段AB、CD所在直线是异面直线，E、F、G、H分别是线段AC、CB、BD、DA的中点．
（1）求证：E、F、G、H共面且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）设P、Q分别是AB和CD上任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分．

Answer 1

考点：空间中直线与平面之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得EH∥CD，FG∥CD，从而EH∥FG，由此能证明E，F，G，H共面，由EH∥CD，的CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH．
（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩EF=M，△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，CQ∥MN，由此能证明PQ被平面EFGH平分．

解答： 证明：（1）∵E，F，G，H分别是AC，CB，BD，DA的中点，
∴EH∥CD，FG∥CD，
∴EH∥FG，因此，E，F，G，H共面，
∵EH∥CD，CD?平面EFGH，EH?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH．
（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩EF=M，
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，
∵CQ∥平面EFGH，CQ?平面PCQ，
∴CQ∥MN，
∵EF是△ABC是的中位线，
∴M是PC的中点，则N是PQ的中点，
∴PQ被平面EFGH平分．

点评：本题考查E、F、G、H共面且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH的证明，考查PQ被平面EFGH平分的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．