Question

设单位向量

a

，

b

与非零向量

c

满足

a

•

b

=

1

2

，向量

a

-

c

与向量

b

-

c

的夹角为90°，则|

c

|的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：建立坐标系，根据条件设出坐标，根据量

a

-

c

与向量

b

-

c

的夹角为90°，得到（x-

3

2

）²+y²+

1

4

=0，求出圆心到原点的距离，再加上半径，即得所求

解答： 解：建立坐标系，以

a

，

b

的角平分线所在的直线为x轴，
使得向量

a

的坐标为（

3

2

，

1

2

），向量

b

的坐标为（

3

2

，-

1

2

），设向量

c

=（x，y），
∴

a

-

c

=（

3

2

-x，

1

2

-y），

b

-

c

=（

3

2

-x，-

1

2

-y），
∴（

a

-

c

）•（

b

-

c

）=（x-

3

2

）²+y²+

1

4

∵向量

a

-

c

与向量

b

-

c

的夹角为90°，
∴（x-

3

2

）²+y²+

1

4

=0，
故量

c

=（x，y）的轨迹为以（

3

2

，0）为圆心，以

1

2

为半径的圆，
本题即求圆上的点到原点的距离的最大值，由于圆心到原点的距离等于

3

2

，故圆上的点到原点的距离的最大值为

3 +1

2

，
故答案为：

3 +1

2

点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数与方程思想，是中档题．