Question

已知函数f（x）满足：f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，则

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(2010)+f(4020)

f(4019)

=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：先利用赋值法求出f²（n）与f（2n），f（n+1）与f（n）的关系，再由结论从而求出所求．

解答： 解：∵f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2，
∴f（2n）=f（n）•f（n）=[f（n）]²，f（n+1）=f（n）•f（1）=2f（n），
∴

f2(n)+f(2n)

f(2n-1)

=

2f(2n)

f(2n-1)

=2×2=4，
∴

f2(1)+f(2)

f(1)

+

f2(2)+f(4)

f(3)

+

f2(3)+f(6)

f(5)

+…+

f2(2010)+f(4020)

f(4019)

=4×2010=8040．
故答案为：8040

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及赋值法的应用，属于中档题．