Question

19．如图，已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 确定△QAP为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论

解答 解：因为∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则OP=R，
渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
由勾股定理可得（2R）²-R²=（$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$）²，
所以（ab）²=3R²（a²+b²）①
在△OQA中，$\frac{（3R）^{2}+（2R）^{2}-{a}^{2}}{2×3R×2R}$=$\frac{1}{2}$，所以7R²=a²②
①②结合c²=a²+b²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

点评 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．