Question

8．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=$\frac{π}{4}$，且$\frac{cosB}{sinC}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{OA}$，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． -$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，设△ABC的外接圆半径为R，根据三角形外心的性质可得：OD⊥AB、OE⊥AC，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}$，在已知的等式两边同时与$\overrightarrow{OA}$进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和内角和定理求出λ的值．

解答 解：如图所示：O是锐角△ABC的外心，
D、E分别是AB、AC的中点，且OD⊥AB，OE⊥AC，
设△ABC外接圆半径为R，则$|\overrightarrow{OA}|$=R，
由图得，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}）$=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DA}$ 
=$\overrightarrow{AB}•（-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$-\frac{1}{2}|{\overrightarrow{AB}|}^{2}$，
同理可得，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，
由$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}=λ\overrightarrow{OA}$得，
$\frac{cosB}{sinC}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{OA}+\frac{cosC}{sinB}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{OA}=λ{\overrightarrow{OA}}^{2}$，
所以$-\frac{1}{2}•\frac{cosB}{sinC}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-\frac{1}{2}\frac{cosC}{sinB}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=λ{\overrightarrow{OA}}^{2}$，
则$cosB|\overrightarrow{AB}|\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}+cosC|\overrightarrow{AC}|\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}$=$-2λ|\overrightarrow{OA}{|}^{2}$，①
在△ABC中由正弦定理得：$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}=\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sinB}=2R$，
代入①得，$2RcosB|\overrightarrow{AB}|+2RcosC|\overrightarrow{AC}|=-2λ{R}^{2}$，
则$cosB|\overrightarrow{AB}|+cosC|\overrightarrow{AC}|=-λR$，②
由正弦定理得，$|\overrightarrow{AB}|=2RsinC$、$|\overrightarrow{AC}|=2RsinB$，
代入②得，2RsinCcosB+2RcosCsinB=-λR；
所以2sin（C+B）=-λ，即2sin$\frac{3π}{4}$=-λ，
解得λ=$-\sqrt{2}$，
故选D．

点评 本题考查了正弦定理，三角形外心的性质，向量数量积的运算，向量的线性运算，以及两角和的正弦公式的应用，考查化简、变形能力，分析问题、解决问题的能力．