Question

3．设函数f（x）=（x²-2ax）lnx+bx²，a，b∈R．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当b=2时，若对任意x∈[1，+∞），不等式2f（x）＞3x²+a恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a=1，b=0，得出f（x）的解析式，求切线方程，即先求f′（x）在x=1出的值为切线的斜率．由点斜式求出切线方程即可．
（Ⅱ）不等式2f（x）＞3x²+a等价于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0．
方法一：需要分类讨论，根据导数和函数最值得关系即可求出a的范围，
方法二：先求出a的范围，再验证即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1，b=0时，f（x）=（x²-2x）lnx，则f（1）=0，
∴f'（x）=（2x-x）lnx+x-2，
∴f（1）=-1．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-（x-1），
即x+y-1=0．
（Ⅱ）当b=2时，f（x）=（x²-2ax）lnx+2x²，a∈R．
∴不等式2f（x）＞3x²+a等价于（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0．
方法一：令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
则p'（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1）．
当a≤1时，p'（x）≥0，则函数p（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴p（x）_min=p（1）=1-a，
∴根据题意，知有1-a＞0，∴a＜1．
当a＞1时，由p'（x）＜0，知函数p（x）在[1，a）上单调增减；
由p'（x）＞0，知函数p（x）在（a，+∞）上单调递增．
∴$p{（x）_{min}}=p（a）={a^2}（1-2lna）-a$．）
由条件知，a²（1-2lna）-a＞0，即a（1-2lna）-1＞0．
设q（a）=a（1-2lna）-1，a＞1，则q'（a）=-1-2lna＜0，a＞1，
∴q（a）在（1，+∞）上单调递减．
又q（1）=0，所以q（a）＜q（1）=0与条件矛盾．
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，1）．
方法二：令p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a，x∈[1，+∞），
则p（x）=（2x²-4ax）lnx+x²-a＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴p（1）=1-a＞0，
∴a＜1．
又p'（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x=4（x-a）（lnx+1）（x≥1），
显然当a＜1时，p'（x）＞0，则函数p（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴p（x）_min=p（1）=1-a＞0，
∴a＜1．
综上可知a的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查了导数和几何意义以及导数和函数的最值的问题，以及参数的取值范围，属于中档题．