Question

15．已知函数f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+1（x∈R），其中a＞0．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数求切线斜率即可；
（Ⅱ）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，f（x）＞0恒成立?f（x）_max＞0恒成立，令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$，以下分两种情况0＜a≤2，a＞2讨论，分类求出函数最大值即可．

解答 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+1，f（3）=$\frac{29}{2}$；
f′（x）=3x²-3x，f′（3）=18，
所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y-$\frac{29}{2}$=18（x-3），即36x-2y-79=0．…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1），
令f′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$，…（7分）
以下分两种情况讨论：
若0＜a≤2，则$\frac{1}{a}≥\frac{1}{2}$：
当x∈（-$\frac{1}{2}，0$）时，f′（x）＞0，当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＜0，∴f当x∈（-$\frac{1}{2}，0$）时，f（x）递增，当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f（x）递减，
当x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]时，f（x）＞0等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）＞0}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-a}{8}＞0}\\{\frac{5+a}{8}＞0}\end{array}\right.$，
解不等式组得-5＜a＜5，因此0＜a≤2；…（9分）
若a＞2，则$0＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-$\frac{1}{2}$，0）	0	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

当x∈[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]时，f（x）＞0等价于$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）＞0}\\{f（\frac{1}{a}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5-a}{8}＞0}\\{1-\frac{1}{{2a}^{2}}＞0}\end{array}\right.$，
解不等式组得$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜5$或a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此2＜a＜5；…（11分）
综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5…（12分）

点评 本题考查了导数的综合应用，及恒成立问题转化为最值问题的处理，属于中档题．