Question

4．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中点．
（1）证明：PC∥平面BDQ；
（2）求点A到面BDQ的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AC，交BD于O，证明OQ∥PC，然后证明PC∥平面BDQ．
（2）求出三棱锥_Q-BAD的高OA，求出底面积，利用棱柱的体积求解即可．

解答 解：（1）证明：连结AC，交BD于O，连接OQ，
因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
又因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，
∵OQ?平面BDQ，PC?平面BDQ，∴PC∥平面BDQ．
（2）因为侧棱PA⊥底面ABCD，
所以三棱锥_Q-BAD的高为$QA=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}×2=1$，
所以底面积为${S_{△BAD}}=\frac{1}{2}×2×2=2$，
∴${V_{Q-BAD}}=\frac{1}{3}×{S_{△BAD}}×QA=\frac{1}{3}×2×1=\frac{2}{3}$．OQ=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$，
由等体积法V_Q-BAD=V_A-BDQ，得$\frac{1}{3}$hS_△BDQ=$\frac{1}{3}h$×$\frac{1}{2}$BD•OQ=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}h×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}h$=$\frac{2}{3}$．
h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．