Question

7．已知$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$（x≥0）成等差数列．又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=3，此数列的前n项的和S_n（n∈N^*）对所有大于1的正整数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的第n+1项；
（2）若$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，$\frac{1}{{a}_{n}}$的等比中项，且T_n为{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）证明$\sqrt{{S}_{n}}$是以$\sqrt{3}$为首项，$\sqrt{3}$为公差的等差数列，求出S_n=3n²，即可求数列{a_n}的第n+1项；
（2）利用裂项求和方法求T_n．

解答 解：（1）因为$\sqrt{x}$，$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$，$\sqrt{3}$（x≥0）成等差数列，
所以2×$\frac{\sqrt{f（x）}}{2}$=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3}$，
∴f（x）=（$\sqrt{x}$+$\sqrt{3}$）²，
∵S_n=f（S_n-1），
∴S_n=（$\sqrt{{S}_{n-1}}$+$\sqrt{3}$）²，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{S}_{n-1}}$+$\sqrt{3}$，
∵a₁=3，∴$\sqrt{{S}_{n}}$是以$\sqrt{3}$为首项，$\sqrt{3}$为公差的等差数列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{3}$n，
∴S_n=3n²，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=6n+3．
（2）∵$\sqrt{{b}_{n}}$是$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，$\frac{1}{{a}_{n}}$的等比中项，
∴b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{18}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
∴T_n=$\frac{1}{18}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{9（2n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查等差数列的证明，考查裂项方法的运用，属于中档题．