Question

2．如图，过椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|=$\sqrt{2}$+1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得P（-c，$\frac{b2}{a}$），求出k_OP，k_AB，又AB∥OP，即可得到b=c，a=$\sqrt{2}$c，由已知|AF|=a+c=$\sqrt{2}$+1，求得a，b，则椭圆E的方程可求；
（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距离分别为d₁，d₂，将y=kx代入椭圆方程可得x₁，x₂，进一步求出d₁，d₂，则四边形ACBD的面积S取得最大值可求．

解答 解：（1）由题意可得P（-c，$\frac{b2}{a}$），
∴k_OP=-$\frac{b2}{ac}$，k_AB=-$\frac{b}{a}$．
由AB∥OP，∴-$\frac{b2}{ac}$=-$\frac{b}{a}$，解得b=c，a=$\sqrt{2}$c，
由|AF|=a+c=$\sqrt{2}$+1得b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）由题意可设CD：y=kx，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距离分别为d₁，d₂，
将y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，则x₁=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
由A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）得|AB|=$\sqrt{3}$，且AB：x+$\sqrt{2}$y-$\sqrt{2}$=0，
d₁=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，d₂=-$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AB|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$[（x₁-x₂）+$\sqrt{2}$（y₁-y₂）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$k）（x₁-x₂）=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
S²=2（1+$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），∵1+2k²≥2$\sqrt{2}$k，当且仅当2k²=1时取等号，
∴当k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是中档题．