Question

15．已知数列{a_n}中，其前n项和S_n满足S_n=2a_n-2（n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（n+1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系：当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到数列{a_n}为首项为2，公比为2的等比数列，即可求出通项公式，
（2）利用错位相减法即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，可得a₁=2；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），
即有a_n=2a_n-1，
则数列{a_n}为首项为2，公比为2的等比数列，
可得a_n=2ⁿ，
（2）∵b_n=（n+1）•a_n=b_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）×2ⁿ，①
∴2S_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=2+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n×2ⁿ⁺¹．
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项的求法和错位相减法法求和，属于中档题．