Question

10．若S_n=sin$\frac{π}{7}+sin\frac{2π}{7}+…+sin\frac{nπ}{7}（n∈{N^*}）$，则在S₁，S₂，…，S₂₀₁₇中，正数的个数是（　　）

• A． 143
• B． 286
• C． 1731
• D． 2000

Answer 1

分析 由于sin$\frac{π}{7}$＞0，$sin\frac{2π}{7}$＞0，…，$sin\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$=-$sin\frac{π}{7}$＜0，…，sin$\frac{13π}{7}$=-$sin\frac{6π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，可得到S₁＞0，…，S₁₂＞0，S₁₃=0，而S₁₄=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．

解答 解：由于sin$\frac{π}{7}$＞0，$sin\frac{2π}{7}$＞0，…，$sin\frac{6π}{7}$＞0，sin$\frac{7π}{7}$=0，sin$\frac{8π}{7}$=-$sin\frac{π}{7}$＜0，…，sin$\frac{13π}{7}$=-$sin\frac{6π}{7}$＜0，sin$\frac{14π}{7}$=0，可得到S₁＞0，…，S₁₂＞0，S₁₃=0，而S₁₄=0，
2017=14×144+1，
∴S₁，S₂，…，S₂₀₁₇中，正数的个数是2017-144×2+2=1731．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式周期性、数列求和，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．