Question

已知函数f（x）=

lnx

x

+ax+b的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：2x-4y+3=0平行．
（Ⅰ）证明函数y=f（x）在区间（1，e）存在最大值；
（Ⅱ）记函数g（x）=xf（x）+c，若g（x）≤0，对一切x∈（0，+∞），b∈(0，

3

2

)恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由函数在点A（1，f（1））处的切线与直线l平行列式求出a的值，代入导函数解析式后由函数零点存在性定理得到导函数的零点，根据导函数在各区间段内的符号判断出原函数的单调性，从而得到函数y=f（x）在区间（1，c）存在最大值；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入g（x）=xf（x）+c，由g（x）≤0分离变量c，构造辅助函数后利用导数求辅助函数的最小值，从而求得c的范围．

解答： （Ⅰ）证明：由f（x）=

lnx

x

+ax+b，得
f′(x)=

1-lnx

x2

+a．
由函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l平行，且l得斜率为

1

2

，
∴f′(1)=

1

2

，即1+a=

1

2

，∴a=-

1

2

．
∴f′(x)=

1-lnx

x2

-

1

2

=

2-2lnx-x2

2x2

，
∵f′(1)=

1

2

＞0，f′(e)=-

1

2

＜0，
y=2-2lnx-x²在（1，e）上单调递减，
∴f′（x）在区间（1，e）存在一个零点，设为x₀，
则x₀∈（1，e），且f′（x₀）=0．
当x∈（1，x₀）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，x₀）上单调递增；
当x∈（x₀，e）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（x₀，e）上单调递减．
∴当x=x₀时，函数f（x）取得最大值．
故函数f（x）在区间（1，e）上存在最大值；
（Ⅱ）解：由g（x）=xf（x）+c=lnx-

1

2

x2+bx+c≤0恒成立，
∴c≤

1

2

x2-bx-lnx．
记h1(x)=

1

2

x2-bx-lnx(x＞0)，则c=[h₁（x）]_min．
h1′(x)=x-b-

1

x

，令h1′(x)=0，得x²-bx-1=0．
∴x=

-b± b2+4

2

．
∵b∈(0，

3

2

)，x1=

b- b2+4

2

＜0（舍去），x2=

b+ b2+4

2

∈(1，2)．
当0＜xx₂时，h′（x）＞0，h₁（x）单调递增，
∴h1(x)min=h1(x2)=

1

2

x22-bx2-lnx2
=

1

2

x22+1-x22-lnx2=-

1

2

x22-lnx2+1．
记h2(x)=-

1

2

x22-lnx2+1，
∵h₂（x）在（1，2）上单调递减，
∴h₂（x）＞h₂（2）=-1-ln2，
∴c≤-1-ln2．
故c的取值范围是（-∞，-1-ln2]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法、分离变量法和函数构造法，解答的关键是对导函数零点的讨论，是高考试卷中的压轴题．