Question

已知函数y=g（x）在[a，b]上单调递减，函数y=f（x）在[g（b），g（a）]上单调递减，证明：函数y=f（g（x））在[a，b]上单调递增．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数单调性的定义以及复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：设t=g（x），
任意设a≤x₁＜x₂≤b，对应的函数值t₁=g（x₁），t₂=g（x₂），
∵函数y=g（x）在[a，b]上单调递减，
∴t₁＞t₂，
∵函数y=f（x）在[g（b），g（a）]上单调递减，
∴当t₁＞t₂时，y₁=f（t₁）＜y₂=f（t₂），
即当a≤x₁＜x₂≤b时，y₁＜y₂，
∴函数y=f（g（x））在[a，b]上单调递增．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，利用函数单调性的定义是解决本题的关键．