Question

已知f(x)=

2

sinx+sin(

π

4

-x)
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调增区间．
（Ⅱ）当x∈(-

π

2

，

π

2

)，求f（x）的最小值与最大值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=sin（x+

π

4

），从而可求f（x）的最小正周期与单调增区间；
（Ⅱ）当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，x+

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），利用正弦函数的单调性与最值可求得f（x）的最小值与最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

sinx+

2

2

cosx-

2

2

sinx=

2

2

cosx+

2

2

sinx=sin（x+

π

4

），
∴f（x）的最小正周期T=2π；
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调增区间为[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，x+

π

4

∈（-

π

4

，

3π

4

），
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）的最小值为-

2

2

，最大值为1．

点评：本题考查三角恒等变换，考查正弦函数周期性、单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．