Question

（1）化简：

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

（2）已知tanθ+sinθ=a，tanθ-sinθ=b，求证：（a²-b²）²=16ab．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角函数的诱导公式化简即可．
（2）首先将等式的左边化简为左边=[（a+b）（a-b）]²=16tan²θsin²θ，然后将右边化简为右边=16（tanθ+sinθ）（tanθ-sinθ）=16tan²θsin²θ．从而证明原式成立．

解答： 解：（1）

sin(2π-α)cos(π+α)cos( π 2 +α)cos( 11π 2 -α)

cos(π-α)sin(3π-α)sin(-π-α)sin( 9π 2 +α)

=

(-sinα)(-cosα)(-sinα)(-sinα)

(-cosα)sinαsinαcosα

=-tanα
（2）证明：左边=（a²-b²）²
=[（a+b）（a-b）]²
=[（tanθ+sinθ+tanθ-sinθ）（tanθ+sinθ-tanθ+sinθ）]²
=16tan²θsin²θ
右边=16ab
=16（tanθ+sinθ）（tanθ-sinθ）
=16（tan²θ-sin²θ）
=16(

sin2θ

cos2θ

-sin2θ)
=16•

sin2θ(1-cos2θ)

cos2θ

=16tan²θsin²θ
左边=右边
∴（a²-b²）²=16ab

点评：本题考查三角函数诱导公式，三角函数的恒等变换等知识，属于中档题．